Matrices de Householder

Una matriz de Householder \(H\) es un tipo especial de matriz ortogonal y simétrica que se utiliza para reflejar vectores respecto a un hiperplano.

La expresión \(vv^\top\) es un proyector sobre la dirección de \(v\). Al calcular \((\mathbb{I} - vv^\top)u\), estamos restando la componente de \(u\) en la dirección de \(v\), lo que “colapsa” el vector \(u\) sobre el plano (proyección).

Si en cambio restamos la componente de \(u\) en la dirección de \(v\) dos veces (\(\mathbb{I} - 2vv^\top\)), obligamos al vector a cruzar el plano y quedar exactamente a la misma distancia en el lado opuesto. A esta transformacion se le llama Matriz de Householder.

Definición Formal

Dado un vector \(v \in \mathbb{R}^n\) unitario (\(\|v\|=1\)), la matriz de Householder se define como: \[H = \mathbb{I} - 2vv^\top\] La matriz \(H\) actúa como un operador de reflexión:

  • Si un vector \(x\) es ortogonal a \(v\), entonces \(Hx = x\) (el vector reside en el hiperplano de reflexión).
  • Si un vector es paralelo a \(v\), entonces \(Hv = -v\) (el vector se refleja completamente).

Propiedades Estructurales

La potencia de Householder en el cálculo numérico reside en sus propiedades estructurales:

Simetría
La matriz es idéntica a su traspuesta. \(H^\top = (I - 2vv^\top)^\top = \mathbb{I}^\top - 2(v^\top)^\top v^\top = \mathbb{I} - 2vv^\top = H\)
Isometría
Como es ortogonal, preserva la norma del vector original y nunca amplifica el error numérico. \(\|Hu\| = \|u\|\).
Involución
Aplicar la reflexión dos veces regresa el espacio a su estado original: \(H^2 = (\mathbb{I} - 2vv^\top)(\mathbb{I} - 2vv^\top) = \mathbb{I} - 4vv^\top + 4v(v^\top v)v^\top\) Como \(v^\top v = 1\), la expresión se simplifica a \(I - 4vv^\top + 4vv^\top = \mathbb{I}\). Por lo tanto: \(H^2 = \mathbb{I}\).

Y uniendo con la simetría obtenemos tambien, \(H^{-1} = H^\top\) y \(H^2 = \mathbb{I}\).

Utilidad en Factorizaciones

En la práctica, utilizamos Householder para “limpiar” columnas de una matriz. Si queremos que un vector \(x\) se convierta en un vector con ceros en todas las posiciones excepto la primera (proyectarlo sobre el eje \(e_1\)), diseñamos un espejo que esté justo a mitad de camino entre \(x\) y el eje deseado. La “limpieza” de una columna mediante una reflexión de Householder consiste en diseñar un hiperplano (espejo) que sea el bisector perpendicular del camino entre el vector original \(x\) y el objetivo deseado \(z\) (Armentano, 2026 clase 6; Strang, 2018 Lec. 3, ’70).

Generalmente se busca que toda la norma del vector \(x\) se concentre en la primera componente para crear ceros debajo. Por tanto, el objetivo es \(z = \|x\|e_1\). El vector perpendicular al espejo debe ser la línea que conecta ambos puntos: \(v = x - z\). Este vector \(v\) apunta directamente desde el origen del vector hacia su imagen reflejada. Para asegurar que la matriz sea ortogonal, se utiliza el vector unitario \(u = \frac{v}{\|v\|}\). La matriz resultante \(H = I - 2uu^\top\) funciona restando exactamente el doble de la proyección de \(x\) sobre el vector normal \(u\). Matemáticamente: \[Hx = (I - 2uu^\top)x = x - 2u(u^\top x)\] Al aplicar \(Hx\), la matriz resta exactamente el doble de la proyección de \(x\) sobre el vector normal \(u\). Esto cancela toda la parte de \(x\) que “sobra” fuera del eje \(e\) y lo empuja a aterrizar exactamente en el objetivo \(z\), dejando la columna “limpia” con ceros debajo de la primera posición