Apéndice B — Descomposición \(S = Q \Lambda Q^T\)

(Strang, 2018 Lec 2 ’4)

La descomposición \(Q \Lambda Q^T\) es una variante específica de la diagonalización ortogonal aplicada exclusivamente a matrices simétricas. En el álgebra lineal numérica, esta forma es fundamental porque garantiza propiedades computacionales y teóricas que no están presentes en matrices generales.

Para una matriz cuadrada \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) que es simétrica (es decir, \(A = A^T\)), el Teorema Espectral establece que \(A\) es ortogonalmente diagonalizable. La expresión se define formalmente como:

\[A = Q \Lambda Q^T\]

Donde:

\(Q\): Es una matriz ortogonal cuyas columnas son los autovectores (vectores propios) de \(A\). Al ser ortogonal, cumple la propiedad \(Q^T = Q^{-1}\), lo que implica que \(Q Q^T = I\).
\(\Lambda\): Es una matriz diagonal que contiene los autovalores (valores propios) \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) correspondientes a cada autovector en \(Q\).

Componentes de la Descomposición

La Matriz de Autovalores (\(L\))

En la matriz diagonal \(\Lambda\), todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos. La importancia de \(\Lambda\) radica en que representa el factor de escala de la transformación lineal a lo largo de sus ejes principales.

\[\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix}\]

La Matriz Ortogonal ( \(Q\) )

Las columnas de \(Q\) forman una base ortonormal del espacio euclídeo. Esto implica que cada columna tiene norma unitaria (\(\|q_i\| = 1\)) y es ortogonal a las demás (\(q_i \cdot q_j = 0\) para \(i \neq j\)). Geométricamente, \(Q\) opera como una isometría (rotación o reflexión).

Interpretación Geométrica

Si visualizamos la matriz \(A\) como una transformación lineal, la descomposición \(Q \Lambda Q^T\) desglosa la operación en tres etapas cinemáticas:

\(Q^T\): Realiza un cambio de base del vector de entrada al sistema de coordenadas definido por los autovectores (rota el espacio).
\(\Lambda\): Aplica un escalamiento (dilatación o contracción) en cada una de estas nuevas direcciones según los valores \(\lambda_i\).
\(Q\): Devuelve el vector al sistema de coordenadas original mediante la rotación inversa.

Importancia y Aplicaciones Técnicas

Cálculo de Potencias de Matrices: Elevar una matriz simétrica a una potencia \(k\) se simplifica operacionalmente: \(A^k = Q \Lambda^k Q^T\). Solo se requiere elevar los elementos escalares de la diagonal de \(\Lambda\).
Análisis de Componentes Principales (PCA): En estadística multivariante, la matriz de covarianza es simétrica y semidefinida positiva. Su descomposición permite identificar las direcciones de máxima varianza.
Estabilidad Numérica: El uso de matrices ortogonales es preferible en computación científica debido a que poseen un número de condición óptimo, evitando la amplificación de errores de redondeo (Trefethen & Bau, 1997).