Introducción

Esta introducción contiene una breve referencia sobre conocimientos previos, necesarios para entender el contenido del curso

Numeros Complejos

Propiedades

  • Suma/Resta: sumamos las partes reales y las imaginarias
  • Conjugado: Cambiamos el signo a la parte imaginaria
  • Producto: Expresamos los numeros como \(z = a + ib\) y aplicamos distributiva
  • Cociente: \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \, \overline{z_2}}{|z_2|^2}, \quad \text{si } z_2 \ne 0\]

Interpretación geométrica

  • Suma: suma de vectores en el plano
  • Multiplicación: escala el módulo y rota el ángulo
  • Conjugado: reflejo respecto al eje real
  • División: divide módulos y resta ángulos

Observacion: El producto interno de complejos, (vector x vector = vector) no es generalizable a otros espacios. En \(\mathbb{R}^3\) tenemos el producto vectorial usual, pero en \(\mathbb{R}^2\) no hay un producto vectorial que sirva para definir un cuerpo.

Descomposición Polar de un Número Complejo

Cualquier número complejo \(z\) en forma binómica se escribe como \(z = a + bi\), donde \(a, b \in \mathbb{R}\) e \(i\) es la unidad imaginaria (\(i^2 = -1\)). La descomposición polar expresa este mismo punto utilizando coordenadas polares \((r, \theta)\).

  • El Módulo \(r\) representa la magnitud o “longitud” del vector que une el origen con el punto \(z\). Se obtiene mediante el teorema de Pitágoras aplicado a las componentes real e imaginaria: \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

  • El Argumento \(\theta\) es el ángulo formado por el vector con el eje real positivo. Se define mediante la función arcotangente, teniendo en cuenta el cuadrante donde se ubica \(z\): \(\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\)

Representación Matemática

Existen tres formas estrechamente vinculadas para expresar la descomposición polar:

  1. Forma Trigonométrica
    Utilizando proyecciones sobre los ejes: \[\begin{cases} a = r \cos \theta \\ b = r \sin \theta \end{cases} \implies z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\]

  2. Forma Exponencial (Fórmula de Euler)
    Basada en la identidad de Euler \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\), esta es la forma más compacta y potente para el análisis: \(z = r e^{i\theta}\)

  3. Forma Polar (Notación de Fasores)
    Común en ingeniería eléctrica y física: \(z = r_{\angle \theta}\)

Propiedades y Ventajas Operacionales

La descomposición polar simplifica drásticamente ciertas operaciones algebraicas en comparación con la forma binómica:

  • Multiplicación:
    Se multiplican los módulos y se suman los ángulos. \[z_1 z_2 = (r_1 r_2) e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\]
  • Potenciación (Fórmula de De Moivre):
    \[z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))\] \[(re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta}\]
  • Raíces:
    Permite hallar las \(n\) raíces de un número complejo distribuyéndolas uniformemente en un círculo de radio \(\sqrt[n]{r}\).

Observación:
De la formula de Euler: \[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\] Evaluando en \(\theta=\pi\) surge \[e^{i\pi}+1=0\]

Observación:
\(e^{i\pi}\) parametriza todos los puntos de \(S^1={z\in\mathbb{C}:|z|=1}\)

Determinante de una Matriz Cuadrada

El determinante de una matriz cuadrada \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) es un escalar que representa el factor de escala de volumen de la transformación lineal asociada. Geométricamente, el volumen de un hiperparalelepípedo definido por las columnas de \(A\) es igual a \(|\det(A)|\).

Propiedades Relevantes

Determinante del Producto de Matrices

\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\).

Idea de la prueba: Se basa en la unicidad del determinante como función multilineal alternada. Al definir \(d(B) = \det(AB)\), se demuestra que \(d(I) = \det(A)\), lo que fuerza la relación proporcional \(d(B) = \det(A)\det(B)\).

Determinante como Producto de Autovalores

Si \(A\) tiene autovalores \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\): \(\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i\).

Idea de la prueba: Evaluando el polinomio característico \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\) en \(\lambda = 0\). La forma factorizada \((\lambda_1 - 0)\dots(\lambda_n - 0)\) coincide con el término constante del polinomio, que es \(\det(A)\).

Determinante de Matrices Semejantes

Si \(B = P^{-1}AP\), entonces \(\det(B) = \det(A)\).

Idea de la prueba: Por la propiedad del producto, \(\det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P)\). Dado que \(\det(P^{-1}) = 1/\det(P)\), los términos externos se anulan.

El Determinante en Matrices Ortogonales

Una propiedad fundamental de las matrices ortogonales (\(Q^T Q = I\)) es que su determinante está restringido a dos valores posibles: \(1\) o \(-1\).

Prueba: Partiendo de la definición de matriz ortogonal: \(Q^T Q = I\), aplicamos el determinante a ambos lados \(\det(Q^T Q) = \det(I)\). Como \(\det(I) = 1\) y el determinante del producto es el producto de los determinantes: \(\det(Q^T)\det(Q) = 1\). Dado que el determinante de una transpuesta es igual al de la matriz original (\(\det(Q^T) = \det(Q)\)): \[(\det(Q))^2 = 1 \implies \det(Q) = \pm 1\]

Independencia Lineal, Rango, Menores

El rango de una matriz se define como el número de columnas (o filas) linealmente independientes. Se dice que una matriz \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) de rango \(r\), tiene rango completo si \(r = \min(m, n)\).

Una herramienta analítica para determinar el rango de una matriz es el estudio de sus menores. Para una matriz de rango \(r\), existe al menos un menor de tamaño \(r \times r\) con determinante no nulo.

Si una matriz \(A \in \mathbb{R}^{3 \times 2}\) tiene rango 2, al menos uno de sus menores de \(2 \times 2\) debe tener un determinante distinto de cero.

En una matriz genérica (con valores aleatorios), la probabilidad de que un menor sea singular es cero. Formalmente, en el espacio de matrices \(\mathbb{R}^{3 \times 2}\), el conjunto de matrices con rango menor a 2 (donde todos los menores de \(2 \times 2\) son singulares) forma una variedad algebraica. Dado que las raíces de un polinomio no trivial definen un conjunto de medida cero, la probabilidad de que una matriz elegida aleatoriamente sea singular es nula.