$
$
Las matrices de rango 1, representadas por el producto externo entre dos vectores constituyen los bloques de construcción fundamentales del álgebra lineal y la ciencia de datos. Su estructura es notablemente simple: toda su información se comprime en una única dirección. A pesar de esta sencillez, estas matrices son esenciales por varios motivos.
- Definición
- Si una matriz \(A\) tiene rango 1, entonces todas sus columnas pueden obtenerse como combinaciones lineales de la primera (llamemosle \(u\)). Por lo tanto, esta matriz puede expresarse como el producto exterior de dos vectores \(u\) y \(v^\top\), si elegimos las componentes adecuadas de \(v\): \[A = uv^\top\]
- Espacio Columna \(C(A)\)
- Es el subespacio en el codominio \(\mathbb{R}^m\) generado por las combinaciones lineales de las columnas de \(A\). Para una matriz de rango 1, este espacio es simplemente la recta generada por el vector \(u\).
- Espacio Fila \(C(A^\top)\)
- Es el subespacio en el dominio \(\mathbb{R}^n\) generado por las filas de \(A\). En el caso de rango 1, es la recta generada por el vector \(v\).
Ejemplo
Consideremos la matriz \(A\) de tamaño \(2 \times 2\): \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}\]
Aquí, el vector \(u = [1, 3]^\top\) define la dirección del espacio columna en \(\mathbb{R}^2\), mientras que el vector \(v = [1, 2]^\top\) define la dirección del espacio fila en \(\mathbb{R}^2\).
De forma general, cualquier matriz de rango \(r\) puede descomponerse en la suma de \(r\) matrices de rango 1: \[A = \sum_{i=1}^{r} c_i r_i^\top\] Esta perspectiva es esencial para entender factorizaciones avanzadas como SVD o la diagonalización, donde la información de la matriz se “fragmenta” en componentes de importancia decreciente.
2.1 Estructura Espectral
Las matrices de rango 1 son los bloques de construcción fundamentales del álgebra lineal numérica. Una matriz \(A \in \mathbb{R}^{n\times n} \) definida como el producto exterior de dos vectores no nulos, \(A = uv^\top\), posee una geometría espectral muy simple pero poderosa. Este se divide en dos partes: el autovalor asociado a la imagen, o autovalor “vivo” y los autovalores asociados al núcleo o autovalores “nulos” (Strang 2019, I.1; Armentano 2026 clase 4).
El Autovalor “Vivo” \(\lambda_1\)
Si multiplicamos la matriz por el vector \(u\), observamos: \[Au = (uv^\top)u = u(v^\top u) = u\langle v, u \rangle = \langle v, u \rangle u\] Esto revela que \(\lambda_1 = v^\top u = \langle v, u \rangle\) (el producto punto entre \(v\) y \(u\)) es el único autovalor que puede ser distinto de cero (Hernández 2026, 3, ejercicio 12).
Los Autovalores Nulos \(\lambda_2, ..., \lambda_n\)
Dado que el rango de la matriz es \(r=1\), la dimensión del núcleo es \(n - r = n - 1\) (Armentano 2026 clase 4). Por lo tanto, existen \(n-1\) autovalores adicionales que deben ser cero: \(\lambda_2 = 0, ..., \lambda_n = 0\)
2.2 Autovectores
La ubicación de los autovectores depende de los subespacios fundamentales de \(A\) (Strang 2019, I.6; Armentano 2026 clase 4):
Autovector para \(\lambda_1 = v^\top u\)
Como se demostró arriba, el vector \(x_1 = u\) es el autovector asociado al valor propio no nulo. Este vector define la dirección del espacio columna \(C(A)\).
Autovectores para \(\lambda = 0\)
Los autovectores asociados al cero son todos los vectores que pertenecen al núcleo \(N(A)\). Por definición, estos son los vectores perpendiculares al espacio fila, generado por \(v\): \[Ax = (uv^\top)x = u(v^\top x) = 0 \iff v^\top x = 0\] Para completar la base de autovectores en \(\mathbb{R}^3\), simplemente elegimos \(n-1\) vectores \(x_2, x_3,...\) que sean linealmente independientes y perpendiculares a \(v\) (Hernández 2026, Pr3 Ej1)
2.3 Resumen Espectral
| Tipo | Valor Propio | Vector Propio | Ubicación |
|---|---|---|---|
| Principal | \(\lambda_1=v^\top u=\langle u, v \rangle\) | \(x_1 = u\) | \(C(A)\) |
| Nulos | \(\lambda_2\dots\lambda_n=0\) | \(x_2 \perp v, \dots, x_n \perp v\) | \(N(A)\) |
La matriz es diagonalizable solo si \(\lambda_1 \neq 0\) (es decir, \(u \not \perp v\)).
Si \(v^\top u = 0\), la matriz tiene todos sus autovalores en cero y no posee una base completa de autovectores, convirtiéndose en una matriz defectiva (Strang 2019, I.6).
2.4 El Polinomio Característico
La estructura espectral de una matriz de rango 1, \(A = uv^\top\), se refleja de manera simplificada en su polinomio característico \(\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda \mathbb{I})\) (Armentano 2026 clase 7; Strang 2019, I.6).
Para una matriz \(n \times n\) de rango 1, el polinomio característico siempre toma la forma: \[\chi_A(\lambda) = (-\lambda)^{n-1} (v^\top u - \lambda)\]
En el caso específico de una matriz \(3 \times 3\), esto se reduce a: \[\chi_A(\lambda) = -\lambda^2 (\lambda - v^\top u) = -\lambda^3 + (v^\top u)\lambda^2\]
Observaciones
Multiplicidad Algebráica del Cero
El factor \(\lambda^{n-1}\) confirma que el valor propio \(\lambda = 0\) tiene una multiplicidad algebraica de al menos \(n-1\). Esto es una consecuencia directa de que la matriz tiene un núcleo de dimensión \(n-1\) (Armentano 2026 clase 4).
Relación con la Traza
El coeficiente del término \(\lambda^{n-1}\) (en este caso \(v^\top u\)) corresponde a la traza de la matriz (Strang 2018 Lec. 4 ’144). En una matriz de rango 1, la traza es exactamente el producto interno de los vectores que la generan: \(tr(uv^\top) = v^\top u\).
Determinante Nulo
Como el término constante del polinomio es el determinante y aquí es cero (para \(n > 1\)), se confirma que toda matriz de rango 1 es singular (Armentano 2026 clase 4; Strang 2019, I.6).
El Caso \(\lambda = 0\) repetido
Si los vectores son ortogonales (\(v^\top u = 0\)), el polinomio se convierte en \(\chi_A(\lambda) = (-\lambda)^n\). En este escenario, todos los autovalores son cero, pero la matriz solo posee \(n-1\) autovectores independientes, lo que la hace no diagonalizable.