Las matrices ortogonales representan las transformaciones más estables en el cálculo numérico. Estas preservan la geometría del espacio, lo que garantiza que los errores de redondeo no se amplifiquen durante las factorizaciones.
6.1 Fundamentos de Ortogonalidad
Definición: Vectores Ortogonales
Dos vectores \(x, y \in \mathbb{R}^n\) se definen como ortogonales si su producto escalar es nulo: \[x^\top y = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = 0\]
Para el caso complejo (\(\mathbb{C}^n\)), la definición requiere el uso del conjugado transpuesto (producto hermitiano) para asegurar que la norma sea un número real no negativo: \[x^* y = \overline{x}^\top y = \sum_{i=1}^{n} \overline{x_i} y_i = 0\]
Definición: Conjuntos y Bases Ortonormales
Un conjunto de vectores \(\{q_1, q_2, \dots, q_k\}\) es ortonormal si cumple la condición de la delta de Kronecker: \[q_i^\top q_j = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}\] Decimos que un conjunto de vectores es una base ortonormal si es un conjunto ortogonal de vectores unitarios ( \(\|q_i\| = 1 \quad i = 1, 2, \dots, k\) ) que genera todo el espacio.
Coordenadas en Bases no Ortonormales
Sea \(\mathcal{B} = \{b_1, b_2, \dots, b_n\}\) una base no ortogonal de \(V\). Para expresar un vector \(v \in V\) como una combinación lineal de los elementos de dicha base, debemos encontrar un conjunto de escalares \(\{c_i\}\) tales que:
\[v = \sum_{i=1}^{n} c_i b_i\]
Este planteamiento requiere resolver el sistema lineal \(Bc = v\), donde \(B\) es la matriz cuyas columnas son los vectores de la base. Esta operación conlleva varias dificultades desde una perspectiva computacional. 1
Coordenadas en Bases Ortonormales
Cualquier vector \(v \in \mathbb{R}^n\) puede expresarse de manera única como una combinación lineal de las columnas \(q_1, \dots, q_n\) de una matriz ortogonal \(Q\): \[v = c_1 q_1 + c_2 q_2 + \dots + c_n q_n\]
Multiplicando la expresión de \(v\) por \(q_1^\top\) a la izquierda: \[q_1^\top v = c_1 (q_1^\top q_1) + c_2 (q_1^\top q_2) + \dots + c_n (q_1^\top q_n)\] Por la propiedad de ortonormalidad, \(q_1^\top q_1 = 1\) y \(q_1^\top q_j = 0\) para todo \(j \neq 1\), resultando en \(c_1 = q_1^\top v\).
Sea \(\{q_1, q_2, \dots, q_n\}\) una base ortonormal de \(\mathbb{R}^n\), y sea \(Q\) la matriz cuyas columnas son dichos vectores.
\(\forall v \in \mathbb{R}^n: v = c_1 q_1 + c_2 q_2 + \dots + c_n q_n\)
Los coeficientes \(c_i\) se obtienen mediante productos internos individuales: \(c_i = q_i^\top v\)
En notación matricial: \[ c = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_1^\top v \\ q_2^\top v \\ \vdots \\ q_n^\top v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \langle q_1, v \rangle \\ \langle q_2, v \rangle \\ \vdots \\ \langle q_n, v \rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - & q_1^\top & - \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ - & q_n^\top & - \end{bmatrix} v = Q^\top v \] Por lo tanto, el vector de coeficientes completo se obtiene aplicando la matriz \(Q^\top\) al vector \(v\): \[c = Q^\top v\]
6.2 Matrices de Stiefel
Una matriz \(Q\) de tamaño \(n \times r\) se denomina Matriz de Stiefel si sus columnas son vectores ortonormales en \(\mathbb{R}^n\).
Una consecuencia directa de esta definición es la identidad fundamental: \[Q^\top Q = \mathbb{I}_r\] donde \(\mathbb{I}_r\) es la matriz identidad de tamaño \(r \times r\).
\[ Q^\top Q = \begin{bmatrix} - & q_1^\top & - \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ - & q_r^\top & - \end{bmatrix} \begin{bmatrix} | & \cdots & | \\ q_1 & \cdots & q_r \\ | & \cdots & | \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix} = \mathbb{I}_r \]
Si \(n > r\), la matriz \(Q Q^\top\) no es la identidad, sino un operador de proyección sobre el subespacio generado por las columnas de \(Q\).
Teorema: Preservación de la Norma (Propiedad Isométrica)
La multiplicación por una matriz de Stiefel preserva la norma euclídea de cualquier vector \(x \in \mathbb{R}^r\). (Armentano 2026 clase 4; Strang 2018 Lec. 3 ’6)
Demostración:
Sea \(x \in \mathbb{R}^r\). La norma al cuadrado del vector transformado \(Qx\) es: \[\|Qx\|^2 = (Qx)^\top (Qx) = x^\top (Q^\top Q) x = x^\top I_r x = x^\top x = \|x\|^2\]
Por lo tanto, \(\|Qx\| = \|x\|\). Geométricamente, esto significa que \(Q\) actúa como una isometría manteniendo intactas las distancias y los ángulos originales del dominio.
6.3 El Operador de Proyección Ortogonal \(QQ^\top\)
Es imperativo distinguir entre los dos posibles productos de una matriz de Stiefel \(Q \in \mathbb{R}^{n \times r}\) y su transpuesta:
- Matriz Identidad \( Q^\top Q = \mathbb{I}_r\)
- Puede visualizarse como el producto interno de las columnas de \(Q\) entre sí, donde cada entrada \((i,j)\) de la matriz resultante es el producto interno de la \(i\)-ésima columna de \(Q\) por la \(j\)-ésima columna de \(Q\). Este producto produce la identidad de tamaño \(r\), confirmando la ortonormalidad de sus columnas.
- Proyección Ortogonal \(Q Q^\top = P\)
- En este caso, ayuda ver a \(Q\) como una matriz con columnas \(q_1, q_2, \dots, q_r\), de modo que el producto \(Q Q^\top\) se descompone en una suma de productos exteriores: \(P = \sum_{i=1}^r q_i q_i^\top\). A diferencia del producto interno (que da un escalar), el producto exterior \(q_i q_i^\top\) de cada columna por sí misma genera una matriz de rango 1 de tamaño \(n \times n\). \[P = q_1q_1^\top + q_2q_2^\top + \dots + q_rq_r^\top\] Si \(r < n\), esta matriz es singular, de rango \(r\) y actúa como un proyector ortogonal sobre el espacio columna \(C(Q)\).
| \(Q^\top Q = \mathbb{I}_r\) | Identidad de tamaño r |
| \(Q Q^\top = P_Q\) | Proyección Ortogonal sobre \(C(Q)\) \(P_Qv = Q Q^\top v = v_Q\) |
En el capítulo Capítulo 17, aplicamos el Operador de Proyección Ortogonal para resolver Mínimos Cuadrados: Ecuación 17.2
Prueba Geométrica y Algebraica
Para que un operador lineal sea una proyección ortogonal, debe satisfacer algunas condiciones estructurales que garantizan la estabilidad y la geometría del mapeo.
Idempotencia
Aplicar la proyección sucesivamente no debe alterar el vector tras la primera aplicación. \(P^2 = (QQ^\top)(QQ^\top) = Q(Q^\top Q)Q^\top = Q(I_r)Q^\top = QQ^\top = P\) Entonces, \(P^2 = P\).
Invarianza
\(P\) deja invariantes los vectores del subespacio de proyeccion. Si \(v \in C(Q)\), entonces existe un \(x\) tal que \(v = Qx\). Al aplicar el proyector: \(Pv = P(Qx) = (QQ^\top)Qx = Q(Q^\top Q)x = Qx = v\). Por lo tanto, \(P\) deja invariantes a los vectores que ya pertenecen a su imagen.
Simetria
\( P^\top = (Q Q^\top )^\top = ( Q^\top )^\top Q^\top = Q Q^\top = P\).
Ortogonalidad
Si estamos proyectando un vector \(x\) sobre \(Q\), su proyección es \(Px\) y el error es \(x - Px\). Para que esta proyección sea ortogonal, el error de la proyección debe ser perpendicular al espacio donde se proyecta, es decir, que el error debe ser perpendicular a cualquier vector \(Py\) en la imagen de \(P\). Por lo tanto debe cumplirse \((Py)^\top(x-Px)=0, \forall y\). Desarrollando esta formula:
\((Py)^\top(x-Px) = y^\top P^\top(x-Px) = y^\top(P^\top x-P^\top Px) = y^\top(P^\top-P^\top P)x\)
Para que esto sea cero para todo \(x\) e \(y\), debe cumplirse \(P^\top-P^\top P=0\) entonces \( P^\top = P^\top P\).
Como además \(P\) es simétrica (\(P = P^\top\)), entonces \( P^\top = P^\top P = P P = P\).
Por lo tanto, la simetria de \(P\) garantiza que la proyección sea ortogonal y no oblicua.
Caracterización Geométrica
El operador \(P\) descompone cualquier vector \(w \in \mathbb{R}^n\) en una componente dentro del subespacio y un error ortogonal: \(w = Pw + ( \mathbb{I} -P)w\).
Para cualquier vector \(w\), el “vector de error” definido como \(e = w - Pw\) es perpendicular a toda combinación lineal de las columnas de \(Q\), es decir, \(w - Pw \perp C(Q)\).
Un vector es perpendicular a \(C(Q)\) si su producto interno con cada columna de \(Q\) es nulo, lo cual equivale a decir que \(Q^\top e = 0\).
\(Q^\top e = Q^\top(w - Pw) = Q^\top(w - QQ^\top w) = Q^\top w - (Q^\top Q) Q^\top w = 0\)
- Complejidad Algorítmica
- La resolución mediante métodos directos (como la eliminación gaussiana o la descomposición LU) implica un costo de \(O(n^3)\) operaciones de punto flotante.
- Interdependencia de Coeficientes
- El cálculo de cualquier coeficiente \(c_i\) está acoplado al resto del sistema, lo que impide una resolución parcial o asíncrona de las coordenadas.
A diferencia de las bases arbitrarias, donde el cálculo de las coordenadas exige resolver un sistema lineal mediante eliminación (\(O(n^3)\)), en una base ortonormal los coeficientes se obtienen mediante productos internos individuales (\(O(n)\)).↩︎