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6.1 Proyector \(vv^\top\)
Sea \(v \in \mathbb{R}^n, \|v\|=1\), la expresión \(vv^\top\) produce una matriz de rango 1. Nos preguntamos, que hace esta matriz, cuando se la aplico a otro vector \(u\). Es decir, quien es \(vv^\top u\) ?
Aplicando asociatividad, podemos ver que \(vv^\top u = v(v^\top u) = v\langle v,u\rangle\), es decir que el resultado, es un vector en la direccion de \(v\), y de módulo \(\|u\|cos\theta\). Es decir, es la proyección de \(u\) en la dirección de \(v\):
\(u_v=vv^\top u\)
Por comodidad, normalmente tomamos \(v\) unitario. Si \(v\) no fuese unitario, el proyector correcto seria \(\frac{vv^\top}{v^\top v}\) (hay que normalizarlo). El concepto de “quitar una dimensión” para colapsar sobre la dirección de \(v\) sigue siendo el mismo.
La expresión \(vv^\top\) es un proyector sobre la dirección de \(v\)
6.2 Proyeccion sobre \(v^\perp\)
Si restamos a \(u\) la componente de \(u\) en la dirección de \(v\), esto “colapsa” el vector \(u\) sobre el plano ortogonal a \(v\).
\[u_{v^\perp} = (\mathbb{I} - vv^\top)u\]
6.3 Reflexión
Si en cambio restamos la componente de \(u\) en la dirección de \(v\) dos veces, obligamos al vector a cruzar el eje y quedar exactamente a la misma distancia en el lado opuesto. A esta transformacion se le llama Reflexión de Householder.
Definición
Dado un vector \(v \in \mathbb{R}^n\) unitario (\(\|v\|=1\)), la matriz de Householder se define como: \[H = \mathbb{I} - 2vv^\top\] La matriz \(H\) actúa como un operador de reflexión:
- Si un vector \(x\) es ortogonal a \(v\), entonces \(Hx = x\) (el vector reside en el hiperplano de reflexión).
- Si un vector es paralelo a \(v\), entonces \(Hv = -v\) (el vector se refleja completamente).
Créditos: Robert van de Geijn y Margaret Myers. Fuente: LAFF-ALAF
Propiedades Estructurales
La potencia de Householder en el cálculo numérico reside en sus propiedades estructurales:
- Simetría
- La matriz es idéntica a su traspuesta. \(H^\top = (I - 2vv^\top)^\top = \mathbb{I} ^\top - 2(v^\top)^\top v^\top = \mathbb{I} - 2vv^\top = H\)
- Involución
- Aplicar la reflexión dos veces regresa el espacio a su estado original: \(H^2 = ( \mathbb{I} - 2vv^\top)( \mathbb{I} - 2vv^\top) = \mathbb{I} - 4vv^\top + 4v(v^\top v)v^\top\) Como \(v^\top v = 1\), la expresión se simplifica a \(I - 4vv^\top + 4vv^\top = \mathbb{I} \). Por lo tanto: \(H^2 = \mathbb{I} \).
- Ortogonal
- Sabemos que es simétrica, por lo que \(H^\top = H\) y sabemos que es involutiva, por lo que \(H^2 = I\) entonces \(H H = H^\top H = I\) por lo tanto es ortogonal, y \(H^{-1} = H^\top\).
- Isometría
- Como es ortogonal, preserva la norma del vector original y nunca amplifica el error numérico. \(\|Hu\| = \|u\|\).
Espectro y Autovectores
La matriz de Householder tiene un espectro extremadamente simple, compuesto únicamente por los valores propios \(\lambda_1=1\) y \(\lambda_2=−1\).
- Autovalor \(\lambda_2=−1\)
- El vector unitario \(v\) que define la reflexión es el autovector asociado a \(−1\). Esto se debe a que la matriz actúa invirtiendo su dirección: \[Hv=(I−2vv^\top)v=v−2v=−v\]
- Autovalor \(\lambda_1=1\)
- El hiperplano ortogonal a \(v\), denotado como \(v\perp\) es el espacio propio asociado al autovalor \(\lambda_1=1\). Cualquier vector \(w\) contenido en este plano satisface \(Hw=w\), lo que significa que el valor propio \(1\) tiene una multiplicidad de \(n−1\).
Desde una perspectiva geométrica, esto confirma que la matriz es una reflexión: los vectores sobre el “espejo” \(v^\perp\) no cambian, mientras que el vector normal al espejo (\(v\)) se refleja exactamente al lado opuesto.
Como consecuencia de este espectro, el determinante de cualquier matriz de Householder es siempre \(−1\).
Utilidad en Factorizaciones
En la práctica, utilizamos Householder para “limpiar” columnas de una matriz. Si queremos que un vector \(x\) se convierta en un vector con ceros en todas las posiciones excepto la primera (proyectarlo sobre el eje \(e_1\)), diseñamos un espejo que esté justo a mitad de camino entre \(x\) y el eje deseado. La “limpieza” de una columna mediante una reflexión de Householder consiste en diseñar un hiperplano (espejo) que sea el bisector perpendicular del camino entre el vector original \(x\) y el objetivo deseado \(z\) (Armentano 2026 clase 6; Strang 2018 Lec. 3, ’70).
Generalmente se busca que toda la norma del vector \(x\) se concentre en la primera componente para crear ceros debajo. Por tanto, el objetivo es \(z = \|x\|e_1\). El vector perpendicular al espejo debe ser la línea que conecta ambos puntos: \(v = x - z\). Este vector \(v\) apunta directamente desde el origen del vector hacia su imagen reflejada. Para asegurar que la matriz sea ortogonal, se utiliza el vector unitario \(u = \frac{v}{\|v\|}\). La matriz resultante \(H = I - 2uu^\top\) funciona restando exactamente el doble de la proyección de \(x\) sobre el vector normal \(u\). Matemáticamente: \[Hx = (I - 2uu^\top)x = x - 2u(u^\top x)\] Al aplicar \(Hx\), la matriz resta exactamente el doble de la proyección de \(x\) sobre el vector normal \(u\). Esto cancela toda la parte de \(x\) que “sobra” fuera del eje \(e\) y lo empuja a aterrizar exactamente en el objetivo \(z\), dejando la columna “limpia” con ceros debajo de la primera posición