El estudio de los autovalores y autovectores permite entender la acción de una matriz \(A\) no a través de sus entradas individuales, sino a través de sus direcciones invariantes. Mientras que la mayoría de los vectores cambian de dirección al ser multiplicados por \(A\), los autovectores permanecen en la misma línea, experimentando únicamente un escalamiento.
5.1 La Ecuación Fundamental
Sea \(A \in \mathbb{R}^{n\times n} \) una matriz cuadrada. Un vector no nulo \(x\) es un autovector (o eigenvector) de \(A\) si existe un escalar \(\lambda\), denominado autovalor (o eigenvalor), tal que: \[Ax = \lambda x \tag{5.1}\]
Geométricamente, la aplicación de \(A\) sobre \(x\) no altera su dirección, solo su magnitud por un factor \(\lambda\).
Esta definición es exclusiva para matrices cuadradas porque el transformado de \(x\) (es decir, \(Ax\)) está en el mismo subespacio vectorial que \(x\).
La definición de autovector requiere que \(x \neq \vec{0}\). Sin embargo, el autovalor \(0\) sí está permitido. De hecho, cualquier vector en el núcleo de \(A\) (\( \mathcal{N}(A) \)) es un autovector con \(\lambda = 0\).
Si la matriz es invertible y \(\lambda \neq 0\), se verifica que \(x\) también es autovector de \( A^{-1} \) con autovalor \(1/\lambda\). En este caso, \(\lambda\) necesariamente tiene que ser distinto de cero para que \(1/\lambda\) exista, pero el caso \(\lambda = 0\) tiene sentido igualmente. \(\lambda = 0\) significa que \(Ax = 0\), es decir, que \(x \in \mathcal{N}(A) \), lo cual a su vez implica que el rango de \(A\) es menor que \(n\) y que \(A\) no es invertible, por lo que la expresión \( A^{-1} x = \frac{1}{\lambda}x\) tampoco es válida en el miembro izquierdo.
5.2 Motivación: Convergencia de Algoritmos Numéricos
Para la mayoría de los vectores, la multiplicación por una matriz \(A\) cambia tanto su longitud como su dirección. Sin embargo, los autovectores son direcciones especiales que permanecen invariantes: el producto \(Ax\) se mantiene en la misma línea que \(x\), escalado únicamente por el autovalor \(\lambda\).
Esta propiedad es de vital importancia para el comportamiento asintótico de algoritmos numéricos que involucran potencias de una matriz. Si aplicamos \(A\) sucesivamente \(k\) veces sobre un autovector \(x\): \[A^k x = \lambda^k x\]
La evolución del vector en esa dirección está gobernada por la magnitud de su autovalor:
- Si \(|\lambda| > 1\), la componente en esa dirección crece exponencialmente (divergencia).
- Si \(|\lambda| < 1\), la componente decae o se atenúa hacia cero (convergencia).
- Si \(|\lambda| = 1\), la componente conserva su magnitud (estabilidad).
La verdadera utilidad aparece cuando una matriz \(n \times n\) posee \(n\) autovectores linealmente independientes \(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}\). En este escenario, estos vectores forman una base completa del espacio \( \mathbb{R} ^n\), por lo que cualquier vector arbitrario \(v\) puede expresarse como una combinación lineal de estos autovectores (Strang 2018 Lec. 4 ’10): \[v = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \dots + c_n x_n\] donde los coeficientes \(c_i\) representan las coordenadas de \(v\) en esta “base natural” de la matriz.
Calcular \(A^k v\) mediante multiplicaciones matriciales directas es computacionalmente costoso y numéricamente inestable. Sin embargo, al utilizar la base de autovectores, el cálculo se vuelve inmediato. Gracias a la linealidad, la acción de \(A^k\) se distribuye sobre cada componente: \[A^k v = c_1 (\lambda_1^k x_1) + c_2 (\lambda_2^k x_2) + \dots + c_n (\lambda_n^k x_n)\]
Bajo esta óptica:
- Descomponemos \(v\): Encontramos cuánta “magnitud” tiene \(v\) en cada dirección invariante.
- Evolucionamos el sistema: Cada dirección evoluciona de forma independiente según la magnitud de su autovalor \(\lambda_i^k\).
- Resultado Asintótico: Si \(|\lambda_i| < 1\), esa componente desaparecerá con el tiempo; si \(|\lambda_i| > 1\), esa dirección dominará el crecimiento del sistema.
5.3 El Polinomio Característico
Para hallar los autovalores, reescribimos la Ecuación 5.1 como un sistema homogéneo singular \((A - \lambda \mathbb{I} )x = 0\). Para que exista una solución no trivial, la matriz \((A - \lambda \mathbb{I} )\) debe ser singular, lo que conduce al polinomio característico: \[\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda \mathbb{I} ) = 0\] Las raíces de este polinomio de grado \(n\) constituyen el espectro de la matriz.
5.4 Espectro de la Transpuesta \( A^\top \)
Toda matriz cuadrada \(A\) comparte exactamente los mismos autovalores con su transpuesta \( A^\top \), porque ambas generan el mismo polinomio característico (Strang 2019, I.6; Strang 2018 Lec. 4 ’131; Armentano 2026 Clase 7).
Sin embargo, aunque los autovalores son los mismos, los autovectores suelen ser diferentes. Los autovectores de \( A^\top \) se conocen como autovectores izquierdos de \(A\), ya que satisfacen \( y^\top A = \lambda y^\top \). En el “Gran Mapa”, esto significa que mientras los autovectores de \(A\) definen direcciones invariantes en el dominio, los de \( A^\top \) definen direcciones invariantes respecto a las filas (Armentano 2026 clase 4).
5.5 Espectro de Matrices Semejantes
Dos matrices \(A\) y \(B\) son semejantes si existe una matriz invertible \(X\) tal que \(A = X^{-1} BX\).
Las matrices semejantes comparten el mismo espectro de autovalores, pero no comparten autovectores. En efecto, aplicando la definición:
\(Av = \lambda v \implies ( X^{-1} BX)v = \lambda v \implies BXv = X(\lambda v) \implies B(Xv) = \lambda(Xv)\)
Esta última igualdad implica que \(Xv\) es vector propio de \(B\) con autovalor \(\lambda\).
- Prueba
- Sean dos matrices \(A\) y \(B\) semejantes (es decir, \(B = X A X^{-1} \) para alguna matriz invertible \(X\)). La semejanza preserva el polinomio característico, incluso si los autovalores \(\lambda\) residen en el plano complejo \(\mathbb{C}\) (Strang 2018 Lec. 4 ’125): \[\det(B - \lambda \mathbb{I} ) = \det(X A X^{-1} - \lambda X \mathbb{I} X^{-1} ) = \det(X(A - \lambda \mathbb{I} ) X^{-1} )\] Utilizando la propiedad distributiva del determinante (\(\det(ABC) = \det(A)\det(B)\det(C)\)): \[\det(X)\det(A - \lambda \mathbb{I} )\det( X^{-1} ) = \det(X) \det(A - \lambda \mathbb{I} ) \frac{1}{\det(X)} = \det(A - \lambda \mathbb{I} )\]
5.6 Espectro del Producto \(AB\)
El producto de matrices \(AB\) tiene los mismos autovalores (no nulos) que \(BA\).
Si al menos una de las dos matrices (por ejemplo, \(B\)) es invertible, podemos probar que \(AB\) y \(BA\) son semejantes: \[B(AB) B^{-1} = BA(B B^{-1} ) = BA \mathbb{I} = BA\] Esto garantiza que comparten todo su espectro. En el caso general (incluso si ninguna matriz es invertible), se demuestra que el conjunto de sus autovalores no nulos sigue siendo idéntico.
5.7 Espectro de \(A + k \mathbb{I} \)
Si \(v\) es autovector de \(A\) con autovalor asociado \(\lambda\), entonces \(Av=\lambda v\). Veamos qué pasa si aplicamos la matriz \(A + k \mathbb{I} \) a \(v\): \[(A+k \mathbb{I} )v = Av+kv = \lambda v + kv = (\lambda+k)v\] Esto significa que \(v\) es autovector de \(A+k \mathbb{I} \) con autovalor \(\lambda+k\) (Hernández 2026, Pr3 Ej15).
Sumar \(k \mathbb{I} \) a una matriz desplaza todos sus autovalores por \(k\), pero mantiene intacta la dirección de sus autovectores.
5.8 Vínculo entre Espectro, Determinante y Traza
Determinante
El producto de los autovalores es igual al determinante de la matriz: \[\det(A) = \prod \lambda_i\]
La forma más sencilla de demostrar que el determinante es el producto de los autovalores es evaluando el polinomio característico en un punto específico (Hernández 2026 Practico 3 Ej 10). Por el Teorema Fundamental del Álgebra, el polinomio se puede expresar en términos de sus raíces (autovalores): \[\chi_A(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \dots (\lambda_n - \lambda)\] Si evaluamos la expresión anterior en \(\lambda=0\) obtenemos: \[\chi_A(0) = (\lambda_1 - 0)(\lambda_2 - 0) \dots (\lambda_n - 0) = \lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n\] Por otro lado, por la definición original en \(\lambda=0\): \[\chi_A(0) = \det(A - 0 \mathbb{I} ) = \det(A)\]
Esta propiedad implica que si una matriz es singular (\(\det(A)=0\)), al menos uno de sus autovalores es cero (Strang 2019, I.6). Recíprocamente, si una matriz tiene un autovalor \(0\), es singular.
Traza
La suma de las entradas de la diagonal principal es igual a la suma de los autovalores: \[ \text{traza}(A) = \sum \lambda_i\]
La relación con la traza surge al comparar los coeficientes del polinomio característico en sus dos formas de expresión (Strang 2018 Lec. 4, ’144).
- En la forma factorizada: Al expandir el producto \((\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \dots (\lambda_n - \lambda)\), el coeficiente del término \((-\lambda)^{n-1}\) es exactamente la suma de las raíces: \(\sum \lambda_i\).
- En el determinante: Al expandir \(\det(A - \lambda \mathbb{I} )\) mediante la fórmula de Leibniz o cofactores, el único término que contiene \((-\lambda)^{n-1}\) proviene del producto de los elementos de la diagonal principal: \[(a_{11} - \lambda)(a_{22} - \lambda) \dots (a_{nn} - \lambda)\] En este producto, el coeficiente de \((-\lambda)^{n-1}\) es la suma de los elementos de la diagonal: \(a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}\) (Strang 2019, I.6).
Dado que ambos coeficientes deben ser iguales por pertenecer al mismo polinomio, se cumple que \( \text{traza}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i\).
Verificación en Matrices Diagonalizables
Si \(A = X \Lambda X^{-1} \), podemos usar las propiedades de invarianza por semejanza (Strang 2019, I.6):
- \(\det(A) = \det(X) \det(\Lambda) \det( X^{-1} ) = \det(\Lambda) = \prod \lambda_i\).
- \( \text{traza}(A) = \text{traza}(X \Lambda X^{-1} ) = \text{traza}( X^{-1} X \Lambda) = \text{traza}(\Lambda) = \sum \lambda_i\).
5.9 Factorización \(X\Lambda X^{-1} \)
Si una matriz \(A\) posee \(n\) autovectores linealmente independientes, estos pueden agruparse como columnas de una matriz \(X\). La relación \(AX = X\Lambda\) permite la factorización por diagonalización (Strang 2018 Lec. 4 ’36): \[A = X\Lambda X^{-1} \]
donde \(\Lambda\) es una matriz diagonal con los autovalores en su diagonal principal (Strang 2018 Lec 4 ’13).
Bajo esta perspectiva, multiplicar por \(A\) equivale a:
- Cambiar a la base de autovectores (\( X^{-1} \)).
- Escalar cada componente por su respectivo \(\lambda_i\) (\(\Lambda\)).
- Regresar a la base original (\(X\)).
Toda matriz diagonalizable se puede pensar como una matriz diagonal; solo basta recordar que la base en que es diagonal es la base de vectores propios.
La invertibilidad de una matriz depende exclusivamente de su espectro (\(\lambda_i \neq 0\) para todo \(i\)). La diagonalizabilidad requiere de la existencia de \(n\) vectores propios linealmente independientes (Hernández 2026, Pr3 Ej 16 y 18).
Aplicaciones
La factorización \(A = X\Lambda X^{-1} \) simplifica el cálculo de funciones de matrices:
- Potencias
- \(A^k = X \Lambda^k X^{-1} \). Si \(|\lambda_i| < 1\) para todo \(i\), entonces \(A^k \to 0\) cuando \(k \to \infty\).
- Inversa
- \( A^{-1} = X \Lambda^{-1} X^{-1} \) (si \(\lambda_i \neq 0\) para todo \(i\)).
- Método de la Potencia
- Desde una perspectiva numérica, si deseamos encontrar la dirección del autovector dominante (el asociado al autovalor de mayor módulo \(|\lambda_1|\)), podemos iterar un vector aleatorio \(v_0\): \[v_{k+1} = \frac{Av_k}{ \left\| Av_k \right\| }\] A medida que \(k \to \infty\), el vector \(v_k\) se alinea con el autovector dominante.