Sintesis

Álgebra Lineal Numérica Para Aprendizaje Estadístico

Vectores Especiales

\(v, u \in \mathbb{R}^n \) \(\in\)
\(vv^\top\) \( \mathcal{M}_{n\times n} \) (rango 1) \(P_v\)
\(v^\top v\) \( \mathbb{R} \) \(\langle v, v \rangle = \|v\|^2\)
\(vu^\top\) \( \mathcal{M}_{n\times n} \) (rango 1) descomposicion RC  \(\chi_A(\lambda) = (-\lambda)^{n-1} (v^\top u - \lambda)\)
\(v^\top u\) \( \mathbb{R} \) \(\langle v, u \rangle = \|v\|\|u\|\cos\theta\)

Matrices Especiales

Stiefel \(Q \in \mathcal{M}_{m\times n} \)
\( Q^\top Q = I\)
  • Isometría
  • Columnas ortonormales
  • \(Q Q^\top = P_Q\)
  • Idempotente, Invariante en \(Q\)
Ortogonal \(Q \in \mathcal{M}_{n\times n} \)
  • Caso particular de Stiefel, ademas cuadrada
  • Autovectores \(\in \mathbb{C}^n\) ortogonales (\(v^*w=0\))
  • \(Q^{-1}= Q^\top \)
  • \(\lambda_1\in\mathbb{C},\ |\lambda_i| = 1\)
  • Isometria (preserva normas y angulos)
  • si \(\lambda\in \mathbb{R} \) entonces \(\lambda=\pm1\)
  • Rotacion \(\det(Q)=1\), o Reflexion \(\det(Q)=-1\)
Simétrica \(S \in \mathcal{M}(\mathbb{R})_{n\times n} \)
\(S = S^\top\)
  • Autovectores ortogonales
  • \(\lambda \in \mathbb{R} \)
  • \(S=Q\Lambda Q^\top\)
Simétrica y Ortogonal \(S \in \mathcal{M}(\mathbb{R})_{n\times n} \)
\(S = S^\top\)
\(S^{-1}=S^\top\)
  • \(\lambda=\pm1\)
Hermítica \(S \in \mathcal{M}(\mathbb{C})_{n\times n} \)
\(S = S^* = \overline{S}^\top \)
  • Autovectores ortogonales (en \(\mathbb{C}\), \(v^*w=0\))
  • \(\lambda \in \mathbb{C}\)
  • \(S=Q\Lambda Q^\top \)
Antisimétrica \(A\)
\( A^\top =-A\)
  • \(\lambda\) imaginario puro o cero
Householder \(H\)
  • \(H = (I-2vv^\top)u\)
  • Simetrica (proyección ortogonal)
  • Involutiva (\(H^2= \mathbb{I} \))
  • Ortogonal (isometría)
Proyección \(QQ^\top\)
  • \(\succeq 0\)
  • Simétrica
  • Idempotente
  • No Invertible, No Ortogonal

Proyecciónes y Reflexiónes

Proyección de \(u\) sobre \(v\) \(u_v = (vv^\top)u\)
Proyección de \(u\) sobre \(v^\perp\) \(u_{v^\perp} = (I-vv^\top)u\)
Proyección de \(u\) sobre \(Q\) \(QQ^\top u\)
Reflección de \(u\) sobre hiperplano \(v^\perp\) \(H = (I-2vv^\top)u\)

Factorizaciones

Hipótesis Origen
\(A = CR\)
\(A = X\Lambda X^{-1}\) \(A\in \mathcal{M}_{n\times n} \) con \(n\) Autovectores l.i. \(AX=X\Lambda\)
\(S = Q\Lambda Q^\top\) \(S=S^\top\), \(S\in \mathcal{M}_{n\times n} \) Teorema Espectral
\(A = U\Sigma V^\top\)

Normas

\( \left\| A \right\| _N = \sigma_1 + \dots + \sigma_r\)
\( \left\| A \right\| _F = (\sigma_1^2 + \dots + \sigma_r^2)^ ½ \)
\( \left\| A \right\| _2 = \sigma_1\)