8 Matrices Ortogonales

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Definición

Una matriz cuadrada \(Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\) se define como ortogonal (o más precisamente, ortonormal) si sus columnas son ortonormales (vectores unitarios perpendiculares entre sí), lo que implica que: (Armentano 2026 clase 8; Strang 2019, I.5)

\[Q^\top Q = \mathbb{I}\]

Cuando una matriz de Stiefel \(Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\) es cuadrada, sus columnas no solo son ortonormales, sino que forman una base ortonormal completa para \(\mathbb{R}^n\). En este caso, la matriz se denomina simplemente matriz ortogonal.

La Identidad Fundamental

La propiedad más potente de una matriz ortogonal es que su transpuesta es idéntica a su inversa. ¹

\[Q^{-1} = Q^\top\]

Prueba

Por definición de matriz de Stiefel, \(Q^\top Q = \mathbb{I}\). En el caso cuadrado, una matriz que posee una inversa a izquierda también la posee a derecha y es única. Por tanto, \(Q^\top = Q^{-1}\), lo que implica que también se verifica \(Q Q^\top = \mathbb{I}\) (Diego Armentano 2025 Parcial 1 Ej1a).

Preservación de la Geometría (Isometría)

La propiedad definitoria de las matrices ortogonales es que no alteran el producto escalar entre dos vectores cualesquiera \(u\) y \(v\). Utilizando la propiedad de la transpuesta de un producto, \((Qu)^\top = u^\top Q^\top\), tenemos:

\[(Qu) \cdot (Qv) = (Qu)^\top (Qv) = u^\top (Q^\top Q) v = u^\top I v = u \cdot v\]

De esta invariancia se derivan dos consecuencias geométricas críticas:

1. Preservación de la Norma (Longitud): Dado que \(\|v\| = \sqrt{v \cdot v}\), se cumple que \(\|Qv\| = \|v\|\). El vector transformado mantiene su magnitud original.

2. Preservación de Ángulos: El ángulo \(\theta\) entre dos vectores se define por \(\cos(\theta) = \frac{u \cdot v}{\|u\|\|v\|}\). Al ser el numerador y el denominador invariantes bajo \(Q\), el ángulo permanece constante.

En definitiva, las matrices ortogonales actúan como operadores que preservan la estructura métrica del espacio. No solo mantienen las longitudes (normas), sino también los ángulos entre vectores. ²

Por lo tanto, las matrices ortogonales \(Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\) representan una rotación (o una combinación de rotación y reflexión) porque actúan como una isometría lineal en el espacio euclídeo.

El Determinante y la Orientación

Aunque todas las matrices ortogonales preservan la estructura métrica, el determinante de la matriz \(Q\) determina si la transformación preserva o invierte la orientación del espacio:

El determinante de \(Q\), que es el producto de sus valores propios, siempre es \(1\) (rotaciónes puras) o \(-1\) (reflexión).

Prueba

A partir de la identidad \(Q^\top Q = I\), aplicamos la propiedad del determinante de un producto: \(\det(Q^\top) \det(Q) = \det(I)\). Sabiendo que \(\det(Q^\top) = \det(Q)\) y que \(\det(I) = 1\), obtenemos la relación \(\det(Q)^2 = 1\) por lo que \(\det(Q)=\pm1\)

Transformación	Determinante
Rotación Propia	\(\det(Q) = 1\)
Rotación Impropia (Reflexión)	\(\det(Q) = -1\)	Invierte la orientación (quiralidad) del espacio.

8.1 Espectro

Los valores propios (\(\lambda\)) de una matriz ortogonal siguen reglas geométricas estrictas derivadas de su capacidad para preservar longitudes.

Módulo Unitario

Debido a que las matrices ortogonales preservan la norma de los vectores (\(\|Qx\| = \|x\|\)). Si aplicamos esto a un autovector: \[\|Qx\| = \|\lambda x\| = |\lambda| \|x\| \implies |\lambda| = 1\]

Por lo tanto, todos los autovalores de una matriz ortogonal deben tener magnitud 1; es decir, residen en el círculo unidad del plano complejo. (Strang 2018 Lec. 3 ’62; Strang 2019, I.5)

Valores Reales Restringidos

Como \(|\lambda|=1\), Los únicos valores propios reales que puede tener una matriz ortogonal son \(1\) o \(-1\). Cualquier otro valor real violaría la condición de módulo uno.

Simetría en el Plano Complejo

Como \(Q\) tiene entradas reales, sus autovalores complejos siempre aparecen en pares \(\lambda\) y \(\bar{\lambda}\) (Teorema Fundamental del Álgebra). Esto asegura que el polinomio característico mantenga coeficientes reales. Esto puede verse algebraicamente: Si \(\lambda\) es un valor propio complejo de \(Q\) con vector propio \(v\), entonces: \(Q\overline{v} = \overline{Qv} = \overline{\lambda v} = \overline{\lambda} \, \overline{v}\). Por lo tanto, \(\overline{\lambda}\) también es valor propio con vector propio \(\overline{v}\).

Espectro de \(Q^\top = Q^{-1}\)

Como se demostró en Sección 7.4, \(Q\) y \(Q^\top\) siempre comparten los mismos autovalores. Sin embargo, en el caso de las matrices ortogonales, existe una relación adicional: \(Q^\top = Q^{-1}\). Esto implica que: los autovalores de \(Q^\top\) son también los autovalores del inverso de \(Q\).

Si \(x\) es un autovector de \(Q\) con autovalor \(\lambda\), entonces (Strang 2018 Lec. 4 ’115): \[Qx = \lambda x \implies x = Q^{-1}(\lambda x) \implies Q^{-1}x = \frac{1}{\lambda} x\] Por lo tanto: si \(\lambda\) es un autovalor de \(Q\), su recíproco \(1/\lambda\) es un autovalor de \(Q^{-1}\) (y por ende de \(Q^\top\)).

Nota

Para cualquier número complejo \(\lambda\) con \(|\lambda|=1\), se cumple que su recíproco es igual a su conjugado: \[\frac{1}{\lambda} = \bar{\lambda}\]

Los autovalores de \(Q^\top\) son los recíprocos de los de \(Q\), pero como tienen magnitud 1, los autovalores de la traspuesta son simplemente los complejos conjugados de los autovalores originales (Strang 2019, I.5).

8.2 Autovectores

Al igual que las matrices simétricas, las matrices ortogonales (y en general las matrices normales) poseen vectores propios que son ortogonales entre sí.

Prueba

Sean \(v\) y \(w\) autovectores de \(Q\) con autovalores asociados \(\lambda_1\) y \(\lambda_2\) respectivamente.

La definicion de autovector nos dice que \(Qv=\lambda_1v\) y \(Qw=\lambda_2w\). Trasponiendo la primera y multiplicando por la segunda obtenemos: \[v^\top Q^\top Qw=\lambda_1v^\top \lambda_2w\] Lo que implica \(\langle v, w \rangle=\lambda_1\lambda_2\langle v, w \rangle\) y de aqui se deduce: \[(1-\lambda_1\lambda_2)\langle v, w \rangle=0\] Los autovalores de las matrices ortogonales tienen modulo 1, pero no necesariamente satisfacen \(1=\lambda_1\lambda_2\). Como esta igualdad debe cumplirse para matrices con cualquier autovalor, entonces necesariamente \(\langle v, w \rangle\) por lo que:

\[v \perp w\]

8.3 Ejemplos

Matrices de Permutación (\(P\))

Reordenan las entradas de un vector. Sus columnas son las de la identidad en distinto orden. Siempre verifican \(P^\top = P^{-1}\).

Matrices de Reflexión

En \(\mathbb{R}^2\), la matriz \(Q = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix}\) refleja los vectores respecto de la recta que pasa por el origen y tiene un angulo \(\theta\) con el eje horizontal.

Matriz de Fourier (\(F\))

Utilizada en el procesamiento de señales, sus columnas son autovectores ortonormales que permiten transitar entre el dominio del tiempo y la frecuencia.

Matrices Simetricas y Ortogonales

Si una matriz \(S\) es simétrica (\(S= S^\top \)) y a la vez ortogonal (\(S^{-1}= S^\top \)), entonces \(S^2 = SS = S S^\top = SS^{-1} = I\).

En este caso, si \(v\) es un autovector con autovalor asociado \(\lambda\), al aplicar \(S^2\): \[S^2v = S(Sv) = S\lambda v = \lambda Sv=\lambda^2v\] Pero habiamos visto que \(S^2 = \mathbb{I}\), por lo que \(\lambda^2v = v\). Los únicos autovalores que satisfacen esta ecuación son \(0\), \(1\) y \(-1\). Pero ademas, \(S\) es invertible, por lo que \(0\) no es un autovalor posible. En definitiva, \(\lambda = \pm 1\).

Esto nos da una expresion concisa para las posibles matrices de autovalores: (Hernández 2026, Pr4 Ej5) \[\Lambda = \begin{bmatrix} \mathbb{I} & 0 \\ 0 & - \mathbb{I} \end{bmatrix}\]

Matrices de Rotación (\(R_\theta\))

La matriz de rotación estándar para un ángulo \(\theta\) en sentido antihorario es el ejemplo más claro de una matriz ortogonal (Hernández 2026, P3, ejercicio 7):

\[R_\theta = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\]

Podemos verificar su ortogonalidad mediante la suma de los cuadrados de sus componentes en las columnas (\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)) y comprobando que su determinante es siempre \(1\), lo que garantiza que es una rotación pura sin reflexión.

Una matriz de rotación pura (con \(\theta \neq 0, \pi\)) en \( \mathbb{R} ^2\) típicamente no tiene autovectores reales porque gira todos los vectores un ángulo \(\theta\). Sin embargo, posee autovalores complejos de la forma \(\lambda = e^{\pm i\theta} = \cos \theta \pm i \sin \theta\), que cumplen con tener magnitud 1. \(|e^{\pm i\theta}| = 1\). Solo en los casos donde \(\theta=0\) (\(\lambda=1\)) o \(\theta=\pi\) (\(\lambda=-1\)) los vectores propios vuelven al espacio real.

Los autovectores asociados son vectores complejos en \(\mathbb{C}^2\):

• Para \(\lambda_1 = e^{i\theta}\) el autovector es \(x_1 = (1, -i)\).
• Para \(\lambda_2 = e^{-i\theta}\) el autovector es \(x_2 = (1, i)\).

Podemos validar estos resultados mediante la traza y el determinante:

• Traza: \(\lambda_1 + \lambda_2 = (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta - i \sin \theta) = 2\cos \theta\), que coincide exactamente con la suma de la diagonal de \(Q\).
• Determinante: \(\lambda_1 \cdot \lambda_2 = e^{i\theta} \cdot e^{-i\theta} = e^0 = 1\), consistente con una rotación que preserva la orientación.

NotaOrtogonalidad Compleja

Aunque estos vectores viven en \(\mathbb{C}^2\), siguen siendo ortogonales entre sí bajo el producto interno complejo \(x_1^* x_2 = 0\).

Armentano, Diego. 2026. Notas de clase del curso Geometría y Álgebra Lineal para Aprendizaje Estadístico. Facultad de Ciencias Económicas y Administracion, Universidad de la República. https://github.com/diegoax/ALNAE-2026/tree/main/Notebooks.

Diego Armentano, Manuel Hernández. 2025. Pruebas parciales de Álgebra Lineal para Aprendizaje Estadístico. Facultad de Ciencias Económicas y Administracion, Universidad de la República. https://github.com/diegoax/ALNAE-2026/tree/main.

Hernández, Manuel. 2026. Ejercicios practicos del curso Geometría y Álgebra Lineal para Aprendizaje Estadístico. Facultad de Ciencias Económicas y Administracion, Universidad de la República. https://github.com/diegoax/ALNAE-2026/tree/main/practicos.

Strang, Gilbert. 2018. «Matrix Methods in Data Analysis, Signal Processing, and Machine Learning». Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare. https://ocw.mit.edu/courses/18-065-matrix-methods-in-data-analysis-signal-processing-and-machine-learning-spring-2018/.

Strang, Gilbert. 2019. Linear Algebra and Learning from Data. Wellesley-Cambridge Press. https://math.mit.edu/~gs/learningfromdata/.

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1. Esta característica simplifica drásticamente la resolución de sistemas lineales \(Qx = b\). En lugar de recurrir a la eliminación gaussiana (\(O(n^3)\)), la solución se obtiene mediante una simple transposición \(O(n^2)\): \(x = Q^\top b\).

2. Las transformaciones basadas en matrices ortogonales (como las rotaciones de Householder o Givens) son preferidas en aplicaciones donde la estabilidad numérica es crítica porque nunca amplifican el error ni producen overflow. Dado que \(\|Qx\| = \|x\|\), el tamaño de los datos se mantiene constante a lo largo de múltiples factorizaciones.