Las matrices definidas positivas representan una clase especial de matrices simétricas que desempeñan un papel central en la optimización, la estadística y el análisis de estabilidad de sistemas. Su estudio permite pasar de una visión puramente lineal a una comprensión de superficies cuadráticas y “energía” del sistema. (Armentano 2026 Clase 9)
10.1 Definición
Se le denomina Energía o Forma Cuadrática de la matriz \(S\) al número resultante de la operación \(x^\top Sx\).
10.2 Definición
Sea \(S \in \mathbb{R}^{n \times n}\) una matriz simétrica (\(S = S^\top\)).
Decimos que \(S\) es una matriz definida positiva si para todo vector no nulo \(x \in \mathbb{R}^n\), su forma cuadrática es estrictamente mayor que cero:
\[x^\top S x > 0 \quad \forall x \neq 0\]
Dependiendo del comportamiento de la operación \(x^\top S x\), clasificamos la matriz \(S\) en:
| Definida Positiva | \(S\succ 0\) | Si \(x^\top S x > 0\) para todo \(x \neq 0\) 1 |
| Semidefinida Positiva | \(S\succeq 0\) | Si \(x^\top S x \geq 0\) para todo \(x\) Esto permite que existan vectores no nulos (normalmente en el núcleo de la matriz) para los cuales la forma cuadrática sea cero. |
| Indefinida | \(\exists\ x,\ y\ /\ x^\top S x > 0, \ y^\top S y < 0\) |
10.3 Cinco Criterios de verificación
Para verificar si una matriz simétrica \(S\) es definida positiva, existen diversos criterios equivalentes que vinculan la forma cuadrática con el espectro de la matriz y sus factorizaciones. (Strang 2018 Lec 5)
1: Autovalores Positivos
Una matriz simétrica \(S\) es definida positiva si y solo si todos sus autovalores son estrictamente positivos: \[\lambda_i > 0 \quad \text{para todo } i = 1, \dots, n\]
En el caso de una matriz \(S\) Semidefinida Positiva se permite que algunos autovalores sean cero (\(\lambda_i \geq 0\)), lo que implica que la matriz puede ser singular.
2: Energía Positiva
El teorema espectral nos dice que existe una base de vectores propios que diagonaliza a S como \(S = Q \Lambda Q^\top\). La forma cuadrática se puede escribir entonces como \(x^\top (Q \Lambda Q^\top) x\). Definiendo \(y = Q^\top x\) la expresion se simplifica a \(S = y^\top \Lambda y = \sum \lambda_i y_i^2\), donde es facil ver que si todos los \(\lambda_i > 0\), la suma es necesariamente positiva para cualquier \(y \neq 0\). Además, como \(Q\) es ortogonal, sus columnas son l.i., por lo que su nucleo es vacío y por lo tanto \(y\neq0\)
3: Factorización \(S = A^\top A\)
\((\implies)\) Si \(S \succ 0\), existe una matriz invertible \(A\) tal que \(S = A^\top A\) 2.
- Prueba
- Como la matriz \(S\) es simétrica, el teorema espectral nos dice que podemos escribirla como \(S=Q\Lambda Q^\top\). Tomamos \(A=\sqrt{\Lambda}Q^\top\), entonces \(S=Q\sqrt{\Lambda}\sqrt{\Lambda}Q^\top = AA^\top\). (Hernández 2026, Pr4 Ej1)
\((\impliedby)\) Para cualquier matriz \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\), el producto \(S = A^\top A\) es \(\succeq 0\).
- Prueba
- La forma cuadrática se reduce a la norma al cuadrado del vector transformado, y ésta es siempre no negativa. \[x^\top (A^\top A) x = (Ax)^\top (Ax) = \|Ax\|^2 \geq 0\]
\(A^\top A\) es estrictamente \(\succ 0\) si y solo si las columnas de \(A\) son linealmente independientes (rango \(n\)). En ese caso, \(Ax = 0\) implica necesariamente \(x = 0\).
4: Determinante y Menores Principales Positivos
Una matriz \(S\) es definida positiva si todos sus menores principales líderes son positivos. Esto incluye:
- El determinante de la matriz completa: \(\det(S) = \prod \lambda_i > 0\).
- Todos los determinantes de las submatrices superiores izquierdas de tamaño \(k \times k\).
5: Pivotes de eliminacion Gaussiana Positivos
Toda matriz simétrica definida positiva permite una eliminación gaussiana sin necesidad de intercambio de filas (pivoteo), lo que conduce a la descomposición simétrica \(A = LDL^\top\). En esta estructura:
| \(L\) | Es una matriz triangular inferior unitaria (con \(1\)s en la diagonal principal). Representa las operaciones elementales de fila realizadas durante la eliminación. |
| \(D\) | Es una matriz diagonal. Contiene los pivotes del proceso de eliminación. |
| \(L^\top\) | Es la transpuesta de \(L\), una matriz triangular superior. |
Prueba
Para demostrar por qué los pivotes deben ser positivos, analizamos la “energía” o forma cuadrática asociada a la matriz. Comenzamos por multiplicar por un vector no nulo \(x \in \mathbb{R}^n\) en ambos lados:
\[x^\top A x = x^\top (LDL^\top) x\]
Por la propiedad asociativa del producto matricial, podemos agrupar los términos de la siguiente manera:
\[x^\top A x = (L^\top x)^\top D (L^\top x)\]
Si definimos un nuevo vector columna \(y\) como \(y = L^\top x\), la expresión se simplifica a una suma ponderada de cuadrados:
\[x^\top A x = y^\top D y = \sum_{i=1}^{n} d_i y_i^2 = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \dots + d_n y_n^2\]
Dado que \(L\) (y por ende \(L^\top\)) es una matriz triangular con \(1\)s en la diagonal, su determinante es \(1\) y es, por tanto, invertible. Esto garantiza que para cualquier \(y \neq 0\), siempre existe un único \(x \neq 0\) tal que \(L^\top x = y\). Para que la suma \(\sum_{i=1}^{n} d_i y_i^2\) sea estrictamente positiva para cualquier valor de \(y_i\) (donde al menos un \(y_i \neq 0\)), todos los coeficientes \(d_i\) deben ser estrictamente mayores a cero.
Si existiera un pivote \(d_k \le 0\), podríamos elegir un vector \(y\) con componentes nulas excepto en la posición \(k\), lo que resultaría en una forma cuadrática \(x^\top A x \le 0\), invalidando la propiedad de ser definida positiva.
10.4 Ejemplos y Aplicaciones Fundamentales
Para identificar la positividad en la práctica, analizamos estructuras matriciales recurrentes en el álgebra lineal numérica y la ciencia de datos, vinculándolas con la estructura de los subespacios y la teoría espectral.
- Relación con la Matriz Identidad
- Cualquier matriz definida positiva \(S\) puede verse como una deformación de la matriz identidad. Mientras que \(x^\top \mathbb{I} x = \|x\|^2\) define una esfera perfecta (todas las direcciones pesan lo mismo), \(x^\top S x\) define un elipsoide donde los ejes están alineados con los autovectores de \(S\) y sus longitudes dependen de \(1/\sqrt{\lambda_i}\).
Si \(S \succ 0\), entonces existe un escalar \(\alpha > 0\) tal que: \(S - \alpha \mathbb{I} \succeq 0\). Esto indica que \(S\) “crece” al menos tan rápido como una versión escalada de la identidad.
- Desplazamientos (Shifts)
- Una matriz simétrica arbitraria \(S\) puede convertirse en definida positiva mediante un “shift” o desplazamiento espectral utilizando la matriz identidad \(\mathbb{I}\) (Armentano 2026 clase 8). Si \(\lambda_{min}\) es el autovalor más pequeño de \(S\), entonces para cualquier \(\alpha > |\lambda_{min}|\) se cumple que \(S + \alpha \mathbb{I}\) es estrictamente Definida Positiva.
- La Matriz de Unos (\(J\))
- La matriz \(J\), donde cada entrada \(J_{ij} = 1\), es un caso crítico de matriz de rango 1. Puede expresarse como el producto exterior \(J = \mathbf{1}\mathbf{1}^\top\), donde \(\mathbf{1}\) es el vector columna de unos. Sus autovalores son \(\lambda = \{n, 0, 0, \dots, 0\}\). Al tener autovalores no negativos, es semidefinida positiva. Es singular para cualquier \(n > 1\) porque su núcleo tiene dimensión \(n-1\).
- Matrices de Proyección Ortogonal
- Toda matriz definida positiva debe ser, por definición, simétrica. La simetría garantiza que todos los autovalores sean reales, lo que permite ordenarlos y validar si el autovalor mínimo \(\lambda_{min} > 0\). Un ejemplo común son las matrices de proyección ortogonal \(P = Q Q^\top\), las cuales son \(\succeq 0\) pero no \(\succ 0\) (tienen autovalores 1 y 0).
- Matrices de Markov Simétricas
- Una matriz de Markov \(M\) cumple que sus columnas suman 1. Aunque no todas las matrices de Markov son \(\succ 0\), si además \(M\) es simétrica, sus autovalores son reales y el autovalor dominante es \(\lambda_1 = 1\).
Geométricamente, la expresión \(f(x) = x^\top S x\) define una superficie en \(\mathbb{R}^n\). Si \(S \succ 0\), la gráfica de \(f(x)\) se asemeja a un paraboloide que abre hacia arriba (bowl), con un mínimo global único en el origen \(x = 0\).↩︎
En computación numérica, esto se traduce en la Factorización de Cholesky: \(S = LL^\top\), donde \(L\) es una matriz triangular inferior con diagonal positiva.↩︎