Las matrices definidas positivas representan una clase especial de matrices simétricas que desempeñan un papel central en la optimización, la estadística y el análisis de estabilidad de sistemas. Su estudio permite pasar de una visión puramente lineal a una comprensión de superficies cuadráticas y “energía” del sistema. (Armentano 2026 Clase 9)
10.1 Definición
Se le denomina Energía o Forma Cuadrática de la matriz \(S\) al número resultante de la operación \(x^\top Sx\).
10.2 Definición
Sea \(S \in \mathbb{R}^{n \times n}\) una matriz simétrica (\(S = S^\top\)).
Decimos que \(S\) es una matriz definida positiva si para todo vector no nulo \(x \in \mathbb{R}^n\), su forma cuadrática es estrictamente mayor que cero:
\[x^\top S x > 0 \quad \forall x \neq 0\]
Dependiendo del comportamiento de la operación \(x^\top S x\), clasificamos la matriz \(S\) en:
| Definida Positiva | \(S\succ 0\) | Si \(x^\top S x > 0\) para todo \(x \neq 0\) 1 |
| Semidefinida Positiva | \(S\succeq 0\) | Si \(x^\top S x \geq 0\) para todo \(x\) Esto permite que existan vectores no nulos (normalmente en el núcleo de la matriz) para los cuales la forma cuadrática sea cero. |
| Indefinida | \(\exists\ x,\ y\ /\ x^\top S x > 0, \ y^\top S y < 0\) |
10.3 Criterios de verificación
Para verificar si una matriz simétrica \(S\) es definida positiva, existen diversos criterios equivalentes que vinculan la forma cuadrática con el espectro de la matriz y sus factorizaciones. (Strang 2018 Lec 5)
1: Autovalores Positivos
Una matriz simétrica \(S\) es definida positiva si y solo si todos sus autovalores son estrictamente positivos: \[\lambda_i > 0 \quad \text{para todo } i = 1, \dots, n\] El teorema espectral nos dice que existe una base de vectores propios que diagonaliza a S como \(S = Q \Lambda Q^\top\). La forma cuadrática se puede escribir entonces como \(x^\top (Q \Lambda Q^\top) x\). Definiendo \(y = Q^\top x\) la expresion se simplifica a \(S = y^\top \Lambda y = \sum \lambda_i y_i^2\), donde es facil ver que si todos los \(\lambda_i > 0\), la suma es necesariamente positiva para cualquier \(y \neq 0\). Además, como \(Q\) es ortogonal, sus columnas son l.i., por lo que su nucleo es vacío y por lo tanto \(y\neq0\)
En el caso de una matriz \(S\) Semidefinida Positiva se permite que algunos autovalores sean cero (\(\lambda_i \geq 0\)), lo que implica que la matriz puede ser singular.
2: Energía Positiva
Strang usa el concepto de Energía positiva, que no es más que la definicion que usamos aquí.
3: Factorización \(S = A^\top A\)
\((\implies)\) Si \(S \succ 0\), existe una matriz invertible \(A\) tal que \(S = A^\top A\) 2.
- Prueba
- Como la matriz \(S\) es simétrica, el teorema espectral nos dice que podemos escribirla como \(S=Q\Lambda Q^\top\). Tomamos \(A=\sqrt{\Lambda}Q^\top\), entonces \(S=Q\sqrt{\Lambda}\sqrt{\Lambda}Q^\top = AA^\top\). (Hernández 2026, Pr4 Ej1)
\((\impliedby)\) Para cualquier matriz \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\), el producto \(S = A^\top A\) es \(\succeq 0\).
- Prueba
- La forma cuadrática se reduce a la norma al cuadrado del vector transformado, y ésta es siempre no negativa. \[x^\top (A^\top A) x = (Ax)^\top (Ax) = \|Ax\|^2 \geq 0\]
\(A^\top A\) es estrictamente \(\succ 0\) si y solo si las columnas de \(A\) son linealmente independientes (rango \(n\)). En ese caso, \(Ax = 0\) implica necesariamente \(x = 0\).
4: Determinante y Menores Principales Positivos
Una matriz \(S\) es definida positiva si todos sus menores principales líderes son positivos. Esto incluye:
- El determinante de la matriz completa: \(\det(S) = \prod \lambda_i > 0\).
- Todos los determinantes de las submatrices superiores izquierdas de tamaño \(k \times k\).
5: Pivotes de eliminacion Gaussiana Positivos
Toda matriz simétrica definida positiva permite una eliminación gaussiana sin necesidad de intercambio de filas (pivoteo), lo que conduce a la descomposición simétrica \(A = LDL^\top\). En esta estructura:
| \(L\) | Es una matriz triangular inferior unitaria (con \(1\)s en la diagonal principal). Representa las operaciones elementales de fila realizadas durante la eliminación. |
| \(D\) | Es una matriz diagonal. Contiene los pivotes del proceso de eliminación. |
| \(L^\top\) | Es la transpuesta de \(L\), una matriz triangular superior. |
Prueba
Para demostrar por qué los pivotes deben ser positivos, analizamos la “energía” o forma cuadrática asociada a la matriz. Comenzamos por multiplicar por un vector no nulo \(x \in \mathbb{R}^n\) en ambos lados:
\[x^\top A x = x^\top (LDL^\top) x\]
Por la propiedad asociativa del producto matricial, podemos agrupar los términos de la siguiente manera:
\[x^\top A x = (L^\top x)^\top D (L^\top x)\]
Si definimos un nuevo vector columna \(y\) como \(y = L^\top x\), la expresión se simplifica a una suma ponderada de cuadrados:
\[x^\top A x = y^\top D y = \sum_{i=1}^{n} d_i y_i^2 = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \dots + d_n y_n^2\]
Dado que \(L\) (y por ende \(L^\top\)) es una matriz triangular con \(1\)s en la diagonal, su determinante es \(1\) y es, por tanto, invertible. Esto garantiza que para cualquier \(y \neq 0\), siempre existe un único \(x \neq 0\) tal que \(L^\top x = y\). Para que la suma \(\sum_{i=1}^{n} d_i y_i^2\) sea estrictamente positiva para cualquier valor de \(y_i\) (donde al menos un \(y_i \neq 0\)), todos los coeficientes \(d_i\) deben ser estrictamente mayores a cero.
Si existiera un pivote \(d_k \le 0\), podríamos elegir un vector \(y\) con componentes nulas excepto en la posición \(k\), lo que resultaría en una forma cuadrática \(x^\top A x \le 0\), invalidando la propiedad de ser definida positiva.
10.4 Ejemplos y Aplicaciones Fundamentales
Para identificar la positividad en la práctica, analizamos estructuras matriciales recurrentes en el álgebra lineal numérica y la ciencia de datos, vinculándolas con la estructura de los subespacios y la teoría espectral.
Relación con la Matriz Identidad
Cualquier matriz definida positiva \(S\) puede verse como una deformación de la matriz identidad. Mientras que \(x^\top \mathbb{I} x = \|x\|^2\) define una esfera perfecta (todas las direcciones pesan lo mismo), \(x^\top S x\) define un elipsoide donde los ejes están alineados con los autovectores de \(S\) y sus longitudes dependen de \(1/\sqrt{\lambda_i}\).
Si \(S \succ 0\), entonces existe un escalar \(\alpha > 0\) tal que: \(S - \alpha \mathbb{I} \succeq 0\). Esto indica que \(S\) “crece” al menos tan rápido como una versión escalada de la identidad.
Desplazamientos (Shifts)
Una matriz simétrica arbitraria \(S\) puede convertirse en definida positiva mediante un “shift” o desplazamiento espectral utilizando la matriz identidad \(\mathbb{I}\) (Armentano (2026) clase 8). Si \(\lambda_{min}\) es el autovalor más pequeño de \(S\), entonces para cualquier \(\alpha > |\lambda_{min}|\) se cumple que \(S + \alpha \mathbb{I}\) es estrictamente Definida Positiva.
La Matriz de Unos (\(J\))
La matriz \(J\), donde cada entrada \(J_{ij} = 1\), es un caso crítico de matriz de rango 1. Puede expresarse como el producto exterior \(J = \mathbf{1}\mathbf{1}^\top\), donde \(\mathbf{1}\) es el vector columna de unos. Sus autovalores son \(\lambda = \{n, 0, 0, \dots, 0\}\). Al tener autovalores no negativos, es semidefinida positiva. Es singular para cualquier \(n > 1\) porque su núcleo tiene dimensión \(n-1\).
Matrices de Proyección Ortogonal
Toda matriz definida positiva debe ser, por definición, simétrica. La simetría garantiza que todos los autovalores sean reales, lo que permite ordenarlos y validar si el autovalor mínimo \(\lambda_{min} > 0\). Un ejemplo común son las matrices de proyección ortogonal \(P = Q Q^\top\), las cuales son \(\succeq 0\) pero no \(\succ 0\) (tienen autovalores 1 y 0).
Matrices de Markov Simétricas
Una matriz de Markov \(M\) cumple que sus columnas suman 1. Aunque no todas las matrices de Markov son \(\succ 0\), si además \(M\) es simétrica, sus autovalores son reales y el autovalor dominante es \(\lambda_1 = 1\).
Geométricamente, la expresión \(f(x) = x^\top S x\) define una superficie en \(\mathbb{R}^n\). Si \(S \succ 0\), la gráfica de \(f(x)\) se asemeja a un paraboloide que abre hacia arriba (bowl), con un mínimo global único en el origen \(x = 0\).↩︎
En computación numérica, esto se traduce en la Factorización de Cholesky: \(S = LL^\top\), donde \(L\) es una matriz triangular inferior con diagonal positiva.↩︎